Notion De Base Matrici

3  

Dans une matrice carrée les éléments a11, a 22 , a 33 ,..., a nn sont appelés éléments diagonaux. La somme des éléments diagonaux d’une matrice carrée A est appelée la « trace de A » Par exemple pour A, la trace est de 3, pour B, la trace est de 4

1.3 Matrices égales

Deux matrices A = [a ij ] et B = [b ij ] sont dites égales (A=B) si et seulement si : elles sont de même ordre (même nombre de ligne et même nombre de colonnes) et si chaque élément de l’une est égale à l’élément correspondant de l’autre c'est-à-dire si

i = 1,....m a ij = b ij   j = 1,....n

ainsi, [3

2 5] et [3 2] ne sont pas égales

[5 1] et [5 1] sont égales

[1 0] et

 1   ne sont pas égales 0

a = 0  L’égalité [a b c ] = [0 3 4] signifie que : b = 3 c = 4 

1.4 Matrices nulles

La matrice dont tous les éléments sont nuls est appelée la matrice nulle. Quand A est la matrice nulle, et lorsqu’il n’y a pas de confusion possible sur son ordre, on écrit A=0 au lieu de reproduire le tableau (m,n) où tous les éléments sont nuls.

1.5 Propriétés des matrices

- Matrice scalaire : Λ (n,n) = λΙ (n,n) . Une matrice scalaire est le résultat du produit d’un scalaire (un nombre) par la matrice identité.

3 0 0  1 0 0   est une matrice scalaire car   Par exemple A = 0 3 0 A = 3Ι = 3 * 0 1 0    0 0 3  0 0 1    

- Matrice diagonale : elle ne contient des chiffres que sur la diagonale (cad sur les aii ) et des 0 partout ailleurs :

A (n,n) ~ a ij

a ij = a ii ∀i = j a ij = 0 ∀i ≠ j

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L3 Math Stat 1

Module 1 – Notion de base sur les matrices

M1

1 0  0 −1 exemple de matrice diagonale :  0 0  0 0

- Soit X = [x 1 ...

0 0  0 0 3 0  0 4

Remarque : une matrice scalaire est aussi une matrice diagonale.

' x n ] alors X (1,n) X (n,1) =

∑ x i2

 x1    ' Soit X = ... alors X (1,n) X (n,1) =   x n   

Exemple :

∑ x i2

Le produit d’un vecteur ligne par son transposé est égal à la somme des carrés de ses éléments :

 2   Soit X (1,3 ) = [2 1 3] alors X' (3,1) = 1 et on obtient pour le produit :   3   X (1,3 ) X'( 3,1) = 2 * 2 + 1 * 1 + 3 * 3 = 2 2 + 12 + 3 2 = ∑ x i2

Unité 2 : Addition de matrices 2.1 Définition

Si A = [a ij ] et B = [b ij ] sont deux matrices (m,n), leur somme (respectivement leur différence) A+B (resp A-B) est définie par la matrice C = [c ij ] dans laquelle tout élément est la somme (respectivement la différence) des éléments correspondants de A et B. Ainsi :

A ± B = [a ij ± b ij ]

Exemple : soient A ( 2,3 ) = 

1 2 3   2 3 0  et B ( 2,3 ) =   0 1 4  − 1 2 5 5 3 3  9

1 + 2 2 + 3 3 + 0  3 A + B ( 2,3 ) =  =  0 − 1 1 + 2 4 + 5 − 1

 1 − 2 2 − 3 3 − 0  − 1 − 1 3  A − B ( 2,3 ) =  =   0 + 1 1 − 2 4 − 5  1 − 1 − 1

On peut faire la somme ou la différence de deux matrices que si elles sont de même ordre. Par exemple on ne peut pas ajouter ou retrancher les matrices : A( 2,3 ) = 

2 7 3    1 − 1 5

et

 1 3 1   B (3,3 ) =  2 1 4 4 5 6  

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L3 Math Stat 1

Module 1 – Notion de base sur les matrices

M1

2.2 Propriétés

Dans un ensemble de matrices de même dimension m,n l’addition possède les même propriétés que l’addition des réels : • Associativité : si A,B,C sont 3 matrices de même dimension (m,n) alors

A + (B + C) = ( A + B ) + C

• Elément neutre : La matrice F de dimension (m,n) dont tous les termes sont nuls est élément neutre : A + F = F + A = A . Elle est noté [0] • Commutativité : Si A et B sont deux matrices quelconques de même dimensions (m,n) on a :

A +B =B+ A

• Opposée d’une matrice : si on change les signes de tous les éléments d’une matrice A, on obtient une matrice opposée B telle que : A + B = B + A = [0] (matrice nulle)

Exemple : A = 

2 − 1 4 − 2 1 − 4 0 0 0 ⇒ B =   A +B =   = [0] 0 3 1  0 − 3 − 1 0 0 0 = a ij ⇒ B − a ij

B s’appelle l’opposée de A ; toute matrice admet une opposée A

[ ]

[ ]

2.3 Exemple

Une entreprise a placé, pour vendre dans trois lieux A, B et C des distributeurs automatiques de sandwiches et de gâteaux dont les moyennes des ventes journalières sont données dans le tableau suivant : Sandwiches Lieu A Lieu B Lieu C 25 40 20 Gâteaux 35 35 40

En utilisant la représentation matricielle, calculer le nombre de sandwiches et de gâteaux vendus par cette entreprise.

M = [25 35 ] N = [40 35]

P = [20 40]

M + N + P = [25 + 40 + 20 35 + 35 + 40] = [85 110 ]

Donc l’entreprise a vendu 85 sandwiches et 110 gâteaux.

Unité 3 : Produit de matrices 3.1 Multiplication d’une matrice par un scalaire

On définit le produit d’une matrice A par un scalaire α comme la matrice obtenue en multipliant tous les éléments de la matrice A par α Exemple :

0 − 1  3 0 − 3 1     3 2 1 4= 6 3 12  − 1 − 2 0   − 3 − 6 0     

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Module 1 – Notion de base sur les matrices

M1

 4  − 1 0 − 2 

1   − 4 − 1    − 1 =  0 1 3   2 − 3   

Remarques : • Multiplier une matrice par le scalaire 1 ne la modifie pas • Multiplier une matrice par le scalaire 0 la change en matrice nulle • Multiplier une matrice par le scalaire -1 revient à la changer en son opposée.

3.2 Multiplication de deux matrices

1) Conditions de dimensions La multiplication d’une matrice A par une matrice B exige une compatibilité des dimensions. Le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde matrice. Exemple : Si :

1 2    A (3,2) = 3 5  0 − 1  

alors :

 1 0 2   B (3,3 ) = 2 0 1 0 1 2  

C (1,2) = [1 2] D (1,3 ) = [x y z]

a E ( 2,1) =   b

Les produits A(3,2)E(2,1), B(3,3)A(3,2), C(1,2)E(2,1), D(1,3)A(3,2) et D(1,3)B(3,3) sont possibles, les produits A(3,2)B(3,3), A(3,2)C(1,2), A(3,2)D(1,3), B(3,3)C(1,2), B(3,3)E(2,1), C(1,2)D(1,3) sont impossibles 2) Dimension de la matrice produit Si A est une matrice a m lignes et p colonnes, si B est une matrice a p lignes et n colonnes, le produit A(m,p)B(p,n) est défini (puisque A a autant de colonnes que B a de lignes) et c’est une matrice C qui a m lignes et n colonnes

A (m,p ) .B (p,n) = C (m,n)

Le produit a autant de lignes que la 1

ière

matrice