Math

m f ( x ) = L

x → +∞

Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grande , la distance MN tend vers 0 . La courbe Cf se rapproche sans cesse de la droite d’équation y = L .

L f(x)

N M Cf

 →

On dit que la droite d’équation y = L est asymptote horizontale à la courbe Cf en + ∞ . On définit de la même façon

j

O Cf

 →

i

x

x → –∞

lim f ( x ) = L

La distance MN tend vers 0 quand x tend vers - ∞ . La droite d’équation y = L est asymptote horizontale à la courbe Cf en - ∞ .

f est définie sur un intervalle de la forme ] - ∞ ; b ]

N M x

L f (x )

 →

j

O

 →

i

2

Exemples à connaître : lim 1 = 0 lim 1 = 0 , x → +∞ x x → +∞ x² , lim



x → +∞

→

La courbe représentant la fonction x comme asymptote en + ∞ et en – ∞

1 1 = 0 , lim =0 lim 1 = 0 , lim 1 = 0 , lim 13 = 0 x → +∞ x → –∞ x x → –∞ x² x → –∞ x x3 x 1 admet l’axe des abscisses comme asymptote en + ∞ ; les trois autres courbes admettent cet axe x



Rem : Une fonction n’a pas forcément une limite finie ou infinie quand x tend vers + ∞ . ( Par exemple x C ) ASYMPTOTE OBLIQUE Soit a ( a ≠ 0 ) et b deux réels et C la courbe représentant une fonction f dans un repère. Dire que la droite d’équation y = a x + b est asymptote oblique à C en + ∞ ( respectivement en – ∞ ) revient à dire que :

x → +∞

→

sin x , x



→

cos x … )

y

f(x)

La distance MN tend vers 0 quand x tend vers + ∞ .

N M

C

lim ( f ( x ) – ( a x + b ) ) = 0

( respectivement

x → –∞

lim ( f ( x ) – ( a x + b ) ) = 0 )

x Rem : Une fonction peut avoir une limite infinie lorsque x tend vers + ∞ ou vers – ∞ sans que sa courbe posséde une asymptote ( c’est le cas de la fonction carré ) 2 ) LIMITE en a ( avec a réel )

Lorsque que l’on définit la limite d’une fonction f en un réel a , on considère que : a ∈ Df ou a est une borne de Df A ) LIMITE INFINIE en a ET ASYMPTOTE VERTICALE Soit f une fonction . Si « f ( x) est aussi grand que l’on veut dès que x est assez proche de a » , alors on dit que f a pour limite + ∞ en a . On note : lim f ( x ) = + ∞

x→a

Lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de a ,la courbe Cf finit par se situer au dessus ( et en dessous pour la deuxième figure ) de n’importe quelle droite horizontale . Cf Cf

On définit de la même façon lim f ( x ) = – ∞

x→a

On dit que la droite d’équation x = a est asymptote verticale à la courbe Cf .

O a

O

a

Rem : Il arrive souvent qu’on soit amené à définir des limites « d’un seul côté de a » . De manière plus mathématique, cela signifie que la restriction de f à ] a , c ] et la restriction de f à [ b ; a [ n’admettent pas la même limite en a . Naturellement, on introduit les notions de limite à droite en a et de limite à gauche en a et on note :

x → a+

y

Cf

Dans ce cas

x → a+

lim

f(x)=-∞

lim f ( x ) et lim f ( x ) ou encore

x → a-

x→a

lim f ( x ) et lim f ( x )

x→a

et lim f ( x ) = + ∞

x → a-

x>a

x 0 ) lim k f ( avec k < 0 ) Ex : Soit la fonction g définie sur IR* par g : x On a g = - 2 f avec f : x



L kL kL



+∞ +∞ -∞ - 2 . x² lim g ( x ) = 0 , lim g ( x ) = - ∞ et

x → 0+

-∞ -∞ +∞

→

1 x² On en déduit ( - 2 < 0 ) que : lim g ( x ) = 0 ,

→

x → -∞

x → +∞

x → 0-

lim g ( x ) = – ∞ -∞ -∞ -∞ +∞ -∞ ?

Limite de f + g lim f lim g lim ( f + g )

L L’ L + L’

L +∞ +∞



L -∞ -∞

→

+∞ +∞ +∞

* Ex : Soit la fonction h définie sur IR+ par h : x

x– 2 . x² donc lim h ( x ) = + ∞

x