Maths

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Document n° 39, réalisé le 22/4/2003, mis à jour le 4/10/2006

Construction du pentagone régulier convexe inscrit dans un cercle de centre O et rayon r, ayant un sommet A donné.

1 Angles et côtés

L'angle au centre du Pentagone régulier est de 72° et l'angle intérieur de 108°.

Si a est la longueur du côté, d la longueur d'une diagonale et r le rayon du cercle circonscrit, on a montré dans polygones réguliers que :

a = 2 r sin 36° = [pic][pic] = r [pic] ≈ 1,176 r ;

d = [pic][pic] = r [pic] ≈ 1,902 r.

Le rapport diagonale/côté est égal au nombre d'or

Φ = [pic].

2 Méthodes de construction du pentagone

Pour tracer un pentagone régulier convexe, à la « règle et au compas », on peut se donner :

• Le centre O du cercle circonscrit et un sommet A.

• Une diagonale (côté du pentagone croisé) en choisissant deux sommets non consécutifs.

• Un coté en choisissant deux sommets consécutifs A et B.

3 1. Construction dite de Ptolémée

(Alexandrie 85-165 après J.-C.)

Pour construire un pentagone à la « règle et au compas » il suffit de savoir construire un angle au centre dont le cosinus est égal à [pic].

Pour un pentagone inscrit dans un cercle de centre O, ayant un sommet A donné on peut effectuer la construction suivante :

tracer un cercle c1 de centre O, passant par A. On choisira comme unité le rayon du cercle. Placer [AA’] un diamètre et [OB’] un rayon perpendiculaire à [AA’].

K est le milieu du rayon [OA’], le cercle c2 de centre K et de rayon KB’ coupe le segment [OA] en U.

La médiatrice de [OU] coupe le premier cercle (c1) aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B passant par A recoupe (c1) en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone.

En effet KB’ = KU’ = [pic] d’après la propriété de Pythagore dans le triangle OKB’ rectangle en O, donc OU = [pic] - [pic]=[pic] et OI = [pic]. L’angle ([pic],[pic]) a un cosinus égal à [pic], c’est bien un angle de [pic]. La corde [AB] est donc le premier côté du pentagone régulier convexe ABCDE. [EB] est un côté du pentagone étoilé EBDAC inscrit dans le même cercle.

1 Pentagramme mystique

Dans la figure de droite, les points A', C', E', B', D', nommés dans cet ordre sont les sommets d'un polygone régulier étoilé appelé pentagramme. Ce pentagramme de Pythagore était le sceau secret de reconnaissance des pythagoriciens.

Remarque 1 : A’U = A’K + KU = [pic] + [pic] = Φ (nombre d’or).

Remarque 2 : OAB est un triangle isocèle d’angle au sommet[pic], les deux autres étant égaux[pic].

Dans le triangle IAB rectangle en I, IB = AB cos [pic] = [pic]AB

et EB = 2 IB = [pic] AB.

Le rapport [pic] du côté pentagone croisé divisé par le côté du pentagone convexe est égal au nombre d’or Φ.

4 2. Construction du R.P. Durand

Variante de la construction de Ptolémée

Points libres : le centre O et un sommet A.

Placer les points O et A, tracer le cercle c1 de centre O passant par A, placer le symétrique A’ de A par rapport à O.

Sur un rayon perpendiculaire au diamètre [AA’], placer le point K au milieu de ce rayon.

Tracer le cercle c2 de centre K passant par A, ce cercle coupe la droite (OK) en U et T. AU est égal à la longueur du côté d’un pentagone convexe inscrit dans le cercle c1, AT est égal à la longueur du côté du pentagone croisé.

Tracer les cercles c3 et c4 de centre A, passant par U et T. Le cercle c3 coupe c1 en B et E. Le cercle c4 coupe c1 en C et D.

ABCDE est un pentagone régulier.

5 3. Méthode des tangentes à un cercle

Construire la longueur [pic] comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle ayant pour côtés [pic] et [pic].

Le cercle c3, homothétique au cercle c2 de Ptolémée dans l'homothétie de centre O et de rapport [pic] permet de reporter cette longueur PQ en PI.

1 Construction

[pic]

Tracer un cercle c1 de centre O, passant par A. Placer un diamètre [AA'] et [OB'] un rayon perpendiculaire à [AA'].

P est au quart de [OA'] à partir de O : OP = [pic]OA' et Q est le milieu de [OB'], le cercle c3 de centre P et passant par Q coupe [OA] en I et [OA'] en J. La perpendiculaire en I à (AA') coupe le cercle c1 en B et E. La perpendiculaire en J à (AA') coupe le cercle c1 en C et D (placés suivant la figure).

ABCDE est un pentagone régulier.

Démonstration utilisant le produit scalaire (1S) :

pour le prouver, il suffit démontrer que AÔB = [pic] et AÔC = [pic].

On choisira comme unité le rayon du cercle.

Dans le triangle rectangle OPQ le théorème de Pythagore permet de trouver :

PQ = [pic] et OI = PI - PO = PQ - [pic] = [pic].

I étant la projection orthogonale de B sur (OA), on trouve l'égalité des produits scalaires :

[pic].[pic]=[pic].[pic]= 1 × OI = [pic].

Ce produit scalaire s'exprime en fonction de l'angle des vecteurs :

[pic].[pic]= OA × OB cos(AÔB) = 1 × 1 × cos(AÔB),

donc cos(AÔB) = [pic] ; AÔB = [pic].

De même OJ = OP + PJ = [pic] + PQ = [pic].

J étant la projection orthogonale de C sur (OA), on a :

[pic].[pic]=[pic].[pic]= -1 × OJ = [pic],

et en fonction de l'angle des vecteurs :

[pic].[pic]= OA × OC cos(AÔC) = 1 × 1 × cos(AÔC) = [pic]

donc cos(AÔC) = [pic] ; les formules de duplication cos(2x) = 2cos2x - 1 permettent, en vérifiant que 2[pic]- 1= [pic], de déduire que AÔC = [pic].

Les points D et E étant les symétriques de C et B par rapport à (OA), on a donc AÔD = [pic] et AÔE = [pic], la figure est bien un pentagone régulier.

Démonstration utilisant les nombres complexes (TS) :

dans le plan complexe choisira comme origine le centre du pentagone et pour A le point d'affixe 1.

Pour le prouver il suffit démontrer que les sommets sont les racines cinquième de l'unité :

1, z = [pic], z2 , [pic], [pic]; solutions de l'équation z5 - 1 = 0.

Le polynôme z5 – 1 se factorise sous la forme z5 – 1 = (z – 1)( z4 + z3 + z2 + z + 1) (formule classique de la somme des 5 premiers termes d’une suite géométrique).

La factorisation peut se poursuivre par z5 – 1 = (z – 1) (z2 – 2αz + 1) (z2 – 2βz + 1) avec par identification les réels α et β vérifiant α + β = [pic] et αβ = [pic].

Dans le triangle rectangle IJQ, P est le milieu de [IJ] donc OI – OJ = -2 OP = [pic] et la relation métrique pour la hauteur [OQ] permet d’écrire OI × OJ =OQ2 = [pic]. α et β sont donc les affixes des points I et J.

La calculatrice TI-92 permet de factoriser dans C avec factorC(z^5– 1,z). En regroupant le deuxième et le troisième facteur d’une part, le quatrième et le cinquième facteur d’autre part on a :

(z2 – 2αz + 1) = [pic]

et (z2 – 2βz + 1) = [pic],

soit z5 – 1 = (z – 1)[pic],

donc α = [pic] = Re([pic]) ; partie réelle de la solution du deuxième facteur

et β = [pic] = Re([pic]) ; partie réelle de la solution du quatrième facteur.

α et β sont les parties réelles des racines cinquièmes de l’unité, racines imaginaires.

Les sommets du pentagone régulier sont bien l’intersection du cercle unité avec les parallèles à (Oy) passant par I et J.

6 4. méthode des